Les sphères de grande dimension sont particulièrement faciles à empiler de manière chaotique

Depuis des centaines d'années, les spécialistes s'interrogent sur la manière de disposer les sphères de la manière la moins encombrante possible. Le problème semble remonter au navigateur Sir Walter Raleigh, qui sillonnait les mers du monde au XVIe siècle. Il a demandé à son conseiller scientifique de l'époque, Thomas Harriot, d'effectuer une tâche apparemment simple : Harriot devait calculer la surface au sol minimale nécessaire pour empiler un certain nombre de boulets de canon en forme de pyramide. Sans s'en douter sur le moment, Raleigh allait marquer les siècles à venir dans le domaine des mathématiques avec ce problème. Aujourd'hui encore, de nombreuses énigmes y sont liées.

Si Harriot a pu résoudre rapidement le problème posé par Raleigh, des questions connexes ont surgi : Quelle est la disposition la moins encombrante si l'on veut remplir tout l'espace tridimensionnel avec un nombre infini de sphères ? Ce problème, connu sous le nom de conjecture de Kepler, n'a pu être résolu qu'en 1998 à l'aide d'ordinateurs. Depuis, les spécialistes sont parvenus à calculer l'empilement le plus dense pour des disques bidimensionnels dans le plan ainsi que pour des sphères tridimensionnelles dans l'espace (le problème de Kepler) et même dans des dimensions supérieures. Il existe par exemple une réponse claire à la question de savoir comment disposer des "sphères" à 8 et 24 dimensions dans un espace correspondant à 8 ou 24 dimensions en économisant le plus d'espace possible. Mais on ne sait pas encore quel sera le résultat général pour les sphères de dimension d.

Mais il existe des estimations. Jusqu'à récemment, la meilleure estimation était celle du mathématicien Claude Ambrose Rogers, qui avait prouvé en 1947 que la densité des sphères de dimension d devait être d'au moins 2⁄e-d-2-d. Cette estimation est restée valable au cours des décennies suivantes - elle n'a guère pu être améliorée.

Mais aujourd'hui, les quatre mathématiciens Marcelo Campos, Matthew Jenssen, Marcus Michelen et Julian Sahasrabudhe ont réussi à augmenter l'estimation de Roger d'un facteur log(d), comme ils le rapportent dans un article non encore évalué, publié en décembre 2023. C'est la première fois qu'ils réalisent une avancée majeure dans le domaine, après 75 ans. "Cette amélioration peut sembler modeste, mais le problème est notoirement très difficile et la méthode utilisée est nouvelle", écrit le mathématicien Timothy Gowers sur X.

Le chaos comme solution

Pour faire de telles estimations, on étudie généralement les arrangements de sphères possibles et on calcule leur densité, c'est-à-dire la proportion de sphères dans l'espace. Prouver qu'il s'agit vraiment de l'empilement le plus dense est très compliqué : Il faut prouver que tout autre arrangement, ordonné ou non, a toujours une densité de billes plus faible.

L'estimation de la densité est un peu plus simple. Vous pouvez commencer par la disposition la plus simple possible : Supposons que l'on veuille placer un nombre infini de sphères de dimension d et de rayon un dans un espace de dimension d. Pour cela, on commence par sélectionner l'ensemble de tous les points de l'espace qui ont une distance de deux entre eux. Si vous placez une sphère de rayon un à chacun de ces points, vous avez trouvé un arrangement possible - même si ce n'est pas l'arrangement optimal. Celle-ci a une densité de 2-d. Donc l'ensemble de sphères le plus dense doit avoir une densité d'au moins 2-d.

Rogers a découvert que cette estimation pouvait être améliorée - d'un facteur 2⁄e-d. En substance, il a montré qu'il existait un arrangement de sphères de dimension d qui présentaient cette densité. Au cours des décennies suivantes, d'autres spécialistes n'ont pu améliorer le résultat de Roger que par un facteur constant. "Il est frappant de constater que les travaux utilisent des méthodes très différentes, mais aboutissent tous à la même amélioration linéaire de la barrière triviale", a écrit par exemple le médaillé Fields Akshay Venkatesh.

Campos, Jenssen, Michelen et Sahasrabudhe ont utilisé des méthodes stochastiques pour étudier de nouveaux arrangements de sphères. Ce qui est surprenant, c'est que leurs résultats ne sont pas basés sur un arrangement ordonné, mais sur des sphères réparties de manière chaotique. Parfois, le chaos mène au but, même en mathématiques.

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